Question

设函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若0＜x＜1，判断f（x）的单调性，用定义证明，并比较f（sinα）与的大小．

Answer 1

解：（1）函数的定义域关于原点对称，
因为，
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
则，
因为0＜x₁＜x₂0，x₁x₂＜1，
所以，
即f（x₂）＜f（x₁），所以函数在（0，1）上为单调减函数．
当0时，cosα＞sinα，此时f（sinα）＞f（cosα），
当时，cosα=sinα，此时f（sinα）=f（cosα），
当时，cosα＜sinα，此时f（sinα）＜f（cosα）．
分析：（1）利用函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数单调性的证明和应用，利用定义法是解决本题的关键，要注意对角α进行分类讨论，综合性较强，考查学生的运算能力．