Question

（本题满分10分） 如图，已知平面，于D，。

（Ⅰ）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；

（Ⅱ）在直线PA上是否存在一点Q，使得？

 

Answer 1

（Ⅰ）=，；（Ⅱ）存在.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用三角形的一个外角等于其不相邻的两内角和,所以,再根据即可求出;根据来确定自变量的范围,进而确定的最大值;（Ⅱ）点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得,得出关于的不等式,若不等式有解,则存在这样的点,否则就不存在这样的点.

试题解析：（Ⅰ）∵ 面，于D，

∴ 。

∴ 。

∴ 。

∵ 为在面上的射影。

∴ ，即。

∴ 。

即的最大值为，等号当且仅当时取得.

（Ⅱ）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得。

。

令，解得：，与的交集非空.

∴ 满足条件的点Q存在。

考点：1、两角差的正切公式；2、空间想象能力、综合分析和解决问题的能力。