Question

（本小题10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明MN∥平面PCD ，关键要在平面PCD内找到一条直线与MN平行的直线，可以通过中点找中点，构造平行四边形找到与MN平行的直线；（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值，首先要作出MN与平面PAC所成角的平面角，因为PA⊥平面ABCD，所以作NF⊥AC于F，连接MF，则∠FMN是MN与平面PAC所成的角的平面角，然后在Rt△MFN中解出．

试题解析：（1）取PD的中点E，连接ME, CE．

∵M, N分别为PA, BC的中点，

∴，，∴，

∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE， 3分

∵CE?平面PCD，MN?平面PCD，

∴MN∥平面PCD． 5分

（2）作NF⊥AC于F，连接MF．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角． 7分

在Rt△MFN中，，，，∴，

∴． 10分

考点： 1、线面平行的判定定理和性质定理；2、线面角的求法．