题目内容

设a、b、c为一个三角形的三边，s＝(a＋b＋c)且s2＝2ab，试证：s＜2a．

答案：
解析：

　　证明：要证s＜2a，

　　由于s2＝2ab，所以只需证s＜，即b＜s，

　　因为s＝(a＋b＋c)，所以只需证2b＜a＋b＋c，

　　即b＜a＋c．

　　由于a、b、c为一个三角形的三边，所以上式显然成立．

　　于是原命题成立．

　　思路分析：题目中条件与结论之间的关系不明显，因此可以先结合条件把结论适当的转化．结合条件s＝(a＋b＋c)，可把结论s＜2a转化为(a＋b＋c)＜2a，即证b＋c＜3a，我们结合条件s2＝2ab，把结论s＜2a转化为s＜，即b＜s．再结合条件s＝(a＋b＋c)，把结论进一步转化为2b＜a＋b＋c，即b＜a＋c从而得到证明．


提示：

利用分析法证明本题要注意挖掘其中的隐含条件，由结论适当转化．在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．


练习册系列答案
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（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
AC
=λ
CB
，则f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正确命题的序号是
①③④
①③④
（写出所有你认为正确命题的序号）．

设a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，求证：

．
设a、b、c为正数，则a+、b+、c+这三个数

A.都不大于2                                                  B.至少有一个不大于2

C.都不小于2                                                  D.至少有一个不小于2
设a、b、c为某一个三角形的三条边,a≥b≥c,求证:

(1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a);

(2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.

设函数f（x）对其定义域内的任意实数，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正确命题的序号是    （写出所有你认为正确命题的序号）．

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