Question

已知在△ABC中，a²+c²-b²=

b

5

ac，b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：∵a²+c²-b²=

b

5

ac，即a²+c²-b²=

2

5

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

5

，
∵B为三角形的内角，
∴sinB=

2 6

5

，
∵b=2，
∴由余弦定理得：4=b²=a²+c²-

2

5

ac≥

8

5

ac，当且仅当a=c时取等号．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

6

5

ac≤

6

2

，
则△ABC面积的最大值为

6

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．