Question

若实数a、b、c、d满足|b+a²-3lna|+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的最值及其几何意义,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：由题设条件：b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x²；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答： 解：由|b+a²-3lna|+（c-d+2）²=0，
得b+a²-3lna=0且c-d+2=0，
∴b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=3lnx-x²
c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x²求导：
y′（x）=

3

x

-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切点为（1，-1）
切点到直线y=x+2的距离：
L=

|1+1+2|

2

=2

2

，
即L²=8，（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故答案为：8．

点评：本题考查导数在求解函数最值中的应用，对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用以及转化思想的应用．