Question

【题目】已知函数

（1）求函数的极值；

（2）求函数的单调区间；

（3）判断函数是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数

Answer 1

【答案】（1）当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值. （2）当时，递增区间为和，无递减区间；当时，递增区间为和，递减区间为和.（3）存在，两条

【解析】

（1）求导后，对分类讨论，利用导数的可得结果；

（2）求导后，对分类讨论，利用导数的符号可得单调区间；

（3）设它们的公切线与切于，与切于，利用导数的几何意义求出它们的切线，根据两条直线重合可得，构造函数，根据单调性和零点存在性定理可得结果.

（1），，

当时，，函数在上递减，此时函数无极值；

当时，由，得，由，得，

所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值，

综上所述：当时，函数无极值；当时，函数的极小值为，无极大值.

（2），定义域为，

，

当，即时，，函数的递增区间为和，无递减区间；

当，即时，由，得，解得或，

由，得，解得或，

所以函数的增区间为和，递减区间为和.

综上所述：当时，递增区间为和，无递减区间；

当时，递增区间为和，递减区间为和.

（3）函数存在两条公切线，

理由如下：

假设它们的公切线与切于，与切于，

因为，，

所以在点处的切线方程为，即

在点处的切线方程为，即，

根据两条切线重合可得，消去可得，

令，则，

所以在和上递增，

因为时，,时，，所以函数在上有且只有一个零点，

因为时， ，时，，

所以函数在上有且只有一个零点，

所以在和上各有一个实根，

所以它们的公切线有且只有两条.