Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数），其中.

（1）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

（2）若函数的两个极值点为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）存在，最小值为；（2）证明见详解

【解析】

（1）对函数求导，令，得两根，从而得出的单调区间.由用作差法比较与的大小，结合，可知，则在区间单调递减，则其取得最小值；
（2）由的韦达定理，得，则可消去a，得，.通过两边取对数，得和，将其代入需证不等式.再得，采用换元法，反证法，将所求不等式转化为.再用换元法，令 构造函数，利用导函数求其最值，则可证明不等式.

.

解：（1）由条件可函数在上有意义，

，

令，得，，

因为，所以，.

所以当时，，当上，

所以在上是增函数，在是减函数.

由可知，

当时，，当时，，

当时，，

因为，

所以，

又函数在上是减函数，且，

所以函数在区间上的有最小值，

其最小值为.

（2）由（1）可知，当时函数存在两个极值点，

且是方程的两根，

所以，且，

，，

所以，

，

所以

，

又，

由（1）可知，

设，，则，

故要证成立，

只要证成立，

下面证明不等式成立，

构造函数，

则，所以在上单调递增，

，即成立，

令，即得不等式，

从而成立.