Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ），见解析

【解析】

（Ⅰ）求导后，分及讨论即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有两个零点，必须有且最小值，即可得到，因为有两个零点，不妨设，则，即，要证：，即证：，即证：，令，利用导数研究函数的单调性，即可得证；

解：（Ⅰ），

当时，，在上单调递增；

当时，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

综上可知，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有两个零点，

必须有且最小值，

∴，∴，

又∵当时，；当时，，

∴，有两个零点，不妨设，∴，

此时，，

即，，

∴，

要证：，即证：，

即证：，即证：，即证：，

又，∴，

即证：，即证：，

令

，

，当仅当取“”，

∴在上为增函数，∴，

∴成立，

∴成立.