Question

【题目】已知函数，斜率为的直线与相切于点.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当实数时，讨论的极值点．

（Ⅲ）证明：.

Answer 1

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减,(2) 当时，的极小值点为=1，极大值点；当时，无极值点；当时，的极大值点为=1，极小值点;(3)见解析.

【解析】

（1）（1）把f（x）代入h（x），对f（x）进行求导，利用导数研究h（x）的单调区间，注意函数的定义域；（2）已知实数0＜a＜1，对g（x）进行求导，令g′（x）=0，得出极值点，这时方程g′（x）=0的两个根大小不一样，需要进行讨论，然后再确定极大值和极小值点；（3）结合（1）通过讨论x的范围，结合函数的单调性证明即可．

（Ⅰ）由题意知：

，

，

解得：；解得：

所以在上单调递增，在上单调递减

（Ⅱ）=

，

，

由g′（x）=0得x1=﹣1，x2=1，

1、若0＜﹣1＜1，a＞0即＜a＜1，0＜x1＜x2，

此时g（x）的极小值为x=1，极大值点x=﹣1，

2、若﹣1=1，a＞0，即a=，x1=x2=1，则g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上为单调增区间，无极值点，

3、若﹣1＞1，a＞0即0＜a＜，x1＞x2=1，

此时g（x）的极大值点为x=1，极小值点x=﹣1，

综上：当＜a＜1时，g（x）的极小值点为x=1，极大值点x=﹣1；

当a=时，g（x）无极值点为x=1，极小值点x=；

当0＜a时，g（x）的极大值点为x=1，极小值点x=﹣1；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知：

当时,

，即

当时，

，

当时

，

所以