Question

【题目】已知抛物线的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点，设AB的中点为M,A,B,M在准线上的射影分别为C,D,N.

（1）求直线FN与直线AB的夹角的大小；

（2）求证：点B,O,C三点共线.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），利用斜率公式得出kFNy0，再分类讨论：当x1＝x2时，显然FN⊥AB；当x1≠x2时，证出kFNkAB＝﹣1．从而知FN⊥AB成立，即可得出结论．

（2）将焦点弦AB的直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得B、O、C三点共线，从而解决问题．

（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、中点M（x0，y0），焦点F的坐标是（1，0）．

N（﹣1，y0）,∴kFNy0，

当x1＝x2时，显然FN⊥AB；

当x1≠x2时，kAB，

∴kFNkAB＝﹣1．

∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立，

即直线FN与直线AB的夹角θ的大小为90°；

（2）由x＝my+1与抛物线方程联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，∴y1y2＝﹣4，

∴A在准线上的射影为C，

∴C（﹣1，y1），∴kOC＝﹣y1，

∵kOB，y1y2＝﹣4，

∴kOB＝kOC，∴点B、O、C三点共线．