题目内容

定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x）且f（2）=0则＜0的解集为（ ）
A．（0，2）
B．（0，2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．∅
【答案】分析：根据题意，分析可得[xf（x）]′=f′（x）•x-f（x）＜0，令g（x）=xf（x），则g（x）在（0，+∞）上为减函数，结合题意可得当0＜x＜2时，有xf（x）＜0，当x＞2时，有xf（x）＜0，又由x＞2时有＜0?xf（x）＜0，即可得答案．
解答：解：根据题意，由f′（x）•x＜f（x）可得f′（x）•x-f（x）＜0，
即[xf（x）]′=f′（x）•x-f（x）＜0，
令g（x）=xf（x），则g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又由f（2）=0，则g（2）=2f（2）=0，
即当0＜x＜2时，有xf（x）＜0，
当x＞2时，有xf（x）＜0，
又由x＞0，则＜0?xf（x）＜0，
即＜0的解集为（2，+∞），
故选C．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了学生的计算能力，解题时注意转化思想的运用，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)记an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）
（2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）
填空题
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，则sin2x的值为
1
9
1
9
．
（2）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）设向量
a
，
b
，
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，则|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．
（2013•湖州二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

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