Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁+a₂+…+a_n=a_n+1，a₃=1，分别令n=1可求a₁，a₂
（2）由已知可得，s_n=a_n+1=s_n+1-s_n，结合等比数列的通项公式可求s_n，进而可求a_n
（3）由（2）可求b_n=log₂S_n=n-2，代入已知可求c_n，然后利用分组求和及裂项求和、错位相减即可求解数列的和
解答：解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n=a_n+1，a₃=1
令n=1可得，a₁=a₂
令n=2可得，a₁+a₂=a₃=1
∴；…．（2分）
（2）∵a₁+a₂+…+a_n=a_n+1，即s_n=a_n+1=s_n+1-s_n
∴s_n+1=2s_n
∵a₁=s₁=
∴{s_n}是以为首项，以2为公比的等比数列
∴
即；…．（3分）
∴a_n+1=s_n=2^n-2
∴…（3分）
（3）∵b_n=log₂S_n=n-2
又∵c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，
∴
∴…（3分）
∵
=
=
设A=1•2^-1+2•2+…+n•2^n-2
∴2A=1•2+2•2+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1
两式相减可得，-A=2^-1+2+…+2^n-2-n•2^n-1=×2
=×2=
∴A=（n-1）•2^n-1
∴c₁+c₂+…+c_n=+1•2^-1+2•2+…+n•2^n-2
==
∴…．（3分）
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项、等比数列的通项公式的应用及数列的分组求和、裂项求和、错位相减求和方法的应用．