Question

【题目】已知函数/ (为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为 .

(1)求的值及函数的极值;

(2)证明:当时, ;

(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）证明见解析；(3) 证明见解析.

【解析】试题分析: (1) 求出，由 可得的值， 得增区间， 得减区间，从而可得函数的极值；(2) 令，研究函数的单调性，只需证明的最小值大于零即可；(3) 对任意给定的正数c,取

由(2)知,当x>0时, ,所以.当时, ，从而可得结论.

试题解析：(1)由,得.

又,得.

所以.令,得.

当时, 单调递减;当时, 单调递增.

所以当时, 取得极小值无极大值.

(2)令,则.

由(1)得,故在R上单调递增,

又,因此,当时, ,即.

(3)解法一:①若,则.又由(2)知,当时, .

所以当时, .取,当时,恒有.

②若,令,要使不等式成立,只要成立.

而要使成立,则只要,只要成立.

令,则.

所以当时, 在内单调递增.

取,所以在内单调递增.

又=.

易.所以.

即存在,当时,恒.

综上,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有.

解法二:对任意给定的正数c,取

由(2)知,当x>0时, ,所以

当时,

因此,对任意给定的正数c,总存在,当时,恒有