Question

【题目】已知是椭圆C： 上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线交于点M，

是否存在点A，使得？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点A（， ），使得.

【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆过点P（0,1）可得b=1，由点P到两焦点距离和为，可得，进而可得结果；（Ⅱ）设，依题意得：直线的斜率存在，

则直线的方程为： ，又等价于且点A在y轴的右侧，

从而， 从而可得结果.

.

试题解析：

（Ⅰ）由椭圆C： 过点P（0,1）可得b=1，

又点P到两焦点距离和为，可得，

所以椭圆C的方程.

（Ⅱ）设A（m,n），依题意得：直线PA的斜率存在，

则直线PA的方程为： ，

令x=4， ，即M，

又等价于且点A在y轴的右侧，

从而，

因为点A在y轴的右侧，

所以 ， 解得 ,

由点A在椭圆上，解得： ,

于是存在点A（， ），使得.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.