Question

设函数
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（3）求函数的极值点.

Answer 1

（1）最小值为.（2）.
（3）当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

试题分析：（1）的定义域为，根据，得在上增函数，当时，取得最小值.
（2）由于,设.
依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.
根据或，解得实数取值范围是.
（3）由，令.分，讨论的符号及驻点情况.
1)当时，在上恒成立，，此时，函数没有极值点.
2)当时，
①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
②当即时，
当时，易知，这时；
当或时，易知，这时.
时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.
解答本题的主要难度在于转化思想与分类讨论思想的利用.
试题解析：（1）的定义域为，，在上增函数，当时，取得最小值，在上的最小值为.          4分
（2）,设.
依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.
注意到抛物线开口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即实数取值范围是.          8分
（3），令。
1)显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
2)当时，
①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
②当即时，
当时，易知，这时；
当或时，易知，这时.
时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.
综上，当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.    13分