Question

已知函数图象与直线相切，切点横坐标为.
（1）求函数的表达式和直线的方程；（2）求函数的单调区间；
（3）若不等式对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）单调减区间为，单调增区间为;(3) .

试题分析：（1）求函数导数，利用导数的几何意义求直线方程斜率，再利用点斜式求出方程．（2）利用导数和分别求函数的单调增减区间．（3）将不等式转化为恒成立，然后利用导数求函数的最值.
解：（1）因为，所以，所以
所以   2分，所以，所以切点为（1，1），所以
所以直线的方程为          4分
（2）因为的定义域为所以由得 6分
由得        7分
故函数的单调减区间为，单调增区间为    8分
（3）令，则得
所以在上是减函数，在上是增函数       10分
，所以      11分
所以当在的定义域内恒成立时，实数的取值范围是     12分.