已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和抛物线y2=2px相交于A.B两点.直线AB过抛物线的焦点F1.且|AB|=8.椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．(I)求椭圆和抛物线的标准方程,与抛物线相切且被椭圆截得的弦CD的长恰为$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直线.若不存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点，直线AB过抛物线的焦点F₁，且|AB|=8，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过（-2，0）与抛物线相切且被椭圆截得的弦CD的长恰为$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直线，若不存在．请说明理由；若存在，请求出直线方程．

分析（I）由题意可得抛物线的通径为8，由此求得p值，则抛物线方程可求；再由椭圆离心率化椭圆方程为x²+2y²-2b²=0．把A的坐标代入椭圆方程求得b值，进一步得到a值，则椭圆标准方程可求；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，设出直线方程y=kx+2k，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k值，得到直线方程，再与椭圆方程联立，利用弦长公式求得弦长为$\frac{20\sqrt{2}}{3}$，说明存在过（-2，0）与抛物线相切且被椭圆截得的弦CD的长恰为$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直线．

解答解：（Ⅰ）由题意可知，AB为抛物线y²=2px（p＞0）的通径．
即2p=8，∴p=4．
则抛物线方程为y²=8x；
∴F₁（2，0），则A（2，4）．
由椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，∴a²=2b²．
则椭圆方程为x²+2y²-2b²=0．
∵A在椭圆上，∴2²+2×4²-2b²=0，解得b²=18，
∴a²=2b²=36．
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{18}=1$；
（Ⅱ）由题意，假设存在过（-2，0）与抛物线相切且被椭圆截得的弦CD的长恰为$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直线，
设直线方程为y=kx+2k．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，消去y得：k²x²+（4k²-8）x+4k²=0．
由△=（4k²-8）²-16k⁴=0，解得：k=±1．
当k=1时，则直线方程为y=x+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{18}=1}\end{array}\right.$，消去y得：3x²+8x-28=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{28}{3}$．
∴|CD|=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{8}{3}）^{2}+4×\frac{28}{3}}$=$\frac{20\sqrt{2}}{3}$．
同理可得，y=-x+2满足题意．
故存在过（-2，0）与抛物线相切且被椭圆截得的弦CD的长恰为$\frac{20\sqrt{2}}{3}$的直线，直线方程为y=±x+2．