Question

1．函数f（x）满足f（1+x）=-f（1-x），f（x）=f（6-x），当x∈[1，3]时，$f（x）=\frac{1}{2}（x-1）$．
（1）在网格中画出函数f（x）在[-5，11]上的图象；
（2）若直线y=k（x+3）与函数f（x）的图象的交点个数为5，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定f（x）的图象关于（1，0）对称、关于x=3对称、周期为8，即可在网格中画出函数f（x）在[-5，11]上的图象；
（2）若直线y=k（x+3）与函数f（x）的图象的交点个数为5，分类讨论，建立不等式组，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（1+x）=-f（1-x），∴f（x）的图象关于（1，0）对称．
又f（x）=f（6-x），∴f（x）的图象关于x=3对称．
∴f（x）=f（6-x）=f（1+（5-x））=-f（1-（5-x））=-f（x-4），
∴f（x）=f（x-8），∴函数f（x）的周期为8，故函数f（x）在[-5，11]上的大致图象如下：

（2）∵f（x）与直线y=k（x+3）的图象均关于（-3，0）中心对称，
则当k＞0时，$\left\{\begin{array}{l}k（3+3）＜1\\ k（11+3）＞1\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{14}＜k＜\frac{1}{6}$．
当k＜0时，k（7+3）=-1，解得$k=-\frac{1}{10}$．
∴实数k的取值范围为$（\frac{1}{14}，\frac{1}{6}）∪\{-\frac{1}{10}\}$．

点评 本题考查函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．属于中档题．