Question

已知sinθ+cosθ=

1

5

，且

π

2

≤θ≤π，则cos2θ=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2θ的值，进而利用θ的范围求得cosθ-sinθ的值，最后利用二倍角的余弦公式求得cos2θ的值．

解答： 解：∵sinθ+cosθ=

1

5

，
∴两边平方，得sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=

1

25

，
即1+sin2θ=

1

25

．
∴sin2θ=-

24

25

．
∵

π

2

≤θ≤π，
∴sinθ＞0cosθ＜0，
cosθ-sinθ=-

(cosθ-sinθ)2

=-

1-sin2θ

=-

7

5

．
∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）=-

1

5

×

7

5

=-

7

25

．
故答案为：-

7

25

．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式的化简求值．在利用同角三角函数的基本关系时，一定要注意角度范围，进而判定出三角函数的正负．