Question

1、已知函数（a＞1），
求证：（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明函数的单调性，一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义；
（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．
解答：证明：（1）设-1＜x₁＜x₂，
∴
=，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x是方程f（x）=0的负数根，且x≠-1，则，
即，①
当-1＜x＜0时，0＜x+1＜1，∴，
∴，而由a＞1知．∴①式不成立；
当x＜-1时，x+1＜0，∴，∴，而．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．
点评：本题考查了函数的单调性，函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，对于结论是否定形式的命题，往往用反证法证明．