Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，设函数在区间上的最小值为，求；

（2）设，若函数有两个极值点，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）当时，则，通过分类讨论参数，利用导数研究函数在区间上的单调性和最值，即可求得.

（2）要证，即证，当时，，则，构造函数，利用导数求出在单调递增，得出，即可证明出.

解：（1）当时，函数，则，

①当时，，在上单调递增，

所以．

②当时，令，解得，，

（i）当时，即时，在上单调递增，

由上知，此时；

（ii）当时，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

（iii）当时，即时，在上单调递减，

此时．

综上得：，

即当时，，属于一次函数，

由于，则在区间上单调递增，

所以在区间上，；

当时，，则，

所以在区间上单调递增，

所以在区间上，；

当时，，

综合上述得出：．

（2）原式转化为求证，

当时，，

所以是方程的两根，所以，，

因为且，，所以，，

所以，

令，则，

所以在单调递增，所以，

即．