Question

2．求函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 设函数f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上有最小值g（a），对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的范围即可．

解答 解：设f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在区间[0，2]上有最小值g（a），对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
①当$\frac{a}{2}$≤0，即a≤0，区间[0，2]为增区间，可得f（x）_min=f（0）=a²-2a+2；
②当0＜$\frac{a}{2}$＜2即0＜a＜4时，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=-2a+2；
③当$\frac{a}{2}$≥2即a≥4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，
即有f（x）_min=f（2）=a²-10a+18．
则g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a+2，a≤0}\\{2-2a，0＜a＜4}\\{{a}^{2}-10a+18，a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属中档题．