Question

．(本题满分18分)
本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.
（1）求函数的解析式和值域；
（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，
并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有
 恒成立，若存在，
求之；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等价于恒成立……1分
从而得：，化简得，从而得，
所以，………3分
其值域为.………………………………………………4分
（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：
设，则，
所以对一切，均有；………………………………………7分

，从而得，即，
所以数列在区间上是递增数列.………10分
注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.
另解：若数列在某个区间上是递增数列，则
即…7分
又当时，，
所以对一切，均有且，
所以数列在区间上是递增数列.…………………10分
（3）（文科）由（2）知，从而；
，
即； ………12分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，……14分
从而得，即，
所以 ，
所以，
所以， ………………16分
所以，
.   ………………………18分
（3）（理科）由（2）知，从而；
，
即；………12分
令，则有且；
从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，………………………14分
从而得，即，
所以 ，
所以，所以，
所以，
.…………………………16分
即，所以，恒成立
当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。
当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。[
∴，对任意，有。又非零整数，……………18分

略