Question

9．已知圆O：x²+y²=2交x轴于A、B两点，椭圆C是以AB为长轴，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左焦点为F，若P为圆O上一点，过原点O作PF的垂线交直线x=-2于点Q；
（1）求椭圆C的方程；
（2）当点P（不与A、B重合）在圆O上运动时，求证：直线PQ与圆O相切．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，结合离心率得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）求出F坐标，设出P的坐标，得到PF的斜率，进一步得到OQ的斜率，写出OQ所在直线方程，求得Q坐标，再由OP与PQ的斜率的关系证得答案．

解答 （1）解：由题意可知，a=$\sqrt{2}$，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，
则b²=a²-c²=2-1=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由（1）知，F（-1，0），
设P（x₀，y₀）（${x}_{0}≠±\sqrt{2}$），则${{y}_{0}}^{2}=2-{{x}_{0}}^{2}$，
∴${k}_{OQ}=-\frac{1}{{k}_{PF}}=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$，即直线OQ：$y=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}x$，则Q（-2，$\frac{2{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$），
∴${k}_{PQ}=\frac{{y}_{0}-\frac{2{x}_{0}+2}{{y}_{0}}}{{x}_{0}+2}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-2}{{y}_{0}（{x}_{0}+2）}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
又${k}_{OP}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴k_OP•k_PQ=-1，即OP⊥PQ，则直线PQ与圆O相切．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．