Question

已知双曲线的左右焦点是F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据 上的投影的大小恰好为 判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为 ，结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e．
解答：解：∵上的投影的大小恰好为 ，
∴PF₁⊥PF₂，
又因为它们的夹角为 ，
所以 ，
所以在直角三角形PF₁F₂中，F₁F₂=2c，
所以PF₂=c，PF₁=
又根据双曲线的定义得：PF₁-PF₂=2a，
∴c-c=2a，
∴，
所以e=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a，c的关系从而求出离心率．