Question

已知双曲线的左右焦点是F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好为|

F1P

|且它们的夹角为

π

6

，则双曲线的离心率e为

 

．

Answer 1

分析：先根据

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好为 |

F1P

|判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为

π

6

，结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e．

解答：解：∵

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好为 |

F1P

|，
∴PF₁⊥PF₂，
又因为它们的夹角为

π

6

，
所以 ∠PF 1F 2=

π

6

，
所以在直角三角形PF₁F₂中，F₁F₂=2c，
所以PF₂=c，PF₁=

3

c
又根据双曲线的定义得：PF₁-PF₂=2a，
∴

3

c-c=2a，
∴

c

a

=

3

+1，
所以e=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a，c的关系从而求出离心率．