Question

1．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：

年份	2002	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	236	246	257	276	286

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a
（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
若（x₁，y₁ ），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n ）为样本点，$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，则 $\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}{x}_{1}$，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}{y}_{1}$
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{y}）（{y}_{1}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{1}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．

Answer 1

分析 （I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，做出平均数，利用最小二乘法做出b，a，写出线性回归方程．
（II）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．

解答 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份-2006	-4	-2	0	2	4
需求量-257	-21	-11	0	19	29

对预处理后的数据，容易算得$\overline{x}$=0，$\overline{y}$=3.2，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{84+22+38+116}{16+4+4+16}$=6.5，$\stackrel{∧}{a}$=3.2
由上述计算结果，知所求回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$-257=6.5（x-2006）+3.2，
即$\stackrel{∧}{y}$=6.5（x-2006）+260.2①
（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6.5（2012-2006）+260.2=299.2（万吨）≈300（万吨）．

点评 本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．