Question

12．已知：A（cosx，sinx），其中0≤x＜2π，B（1，1），$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²
（Ⅰ）求f（x）的对称轴和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的几何意义求得f（x）的解析式，结合；解析式求f（x）的对称轴和对称中心；
（Ⅱ）根据正弦函数图象的单调性解答．

解答 解：（Ⅰ）．由题设知，$\overrightarrow{OA}$=（cosx，sinx），
$\overrightarrow{OB}$=（1，1），则$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$=（1+cosx，1+sinx），
∴f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²=（1+cosx）²+（1+sinx）²，
=3+2（sinx+cosx），
=3+2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
∴x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即对称轴是x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
对称中心横坐标满足x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
即x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴对称中心是（kπ-$\frac{π}{4}$，3）k∈Z．
（Ⅱ）当2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时f（x）单调递增，即2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数中的恒等变换应用和平面向量数量积的运算．需要学生熟练掌握正弦三角函数图象的性质，属于中等题，难度不大．