题目内容
10．已知函数f（x）=lnx+$\frac{b}{x+1}（{b＞0}）$，对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜-1，则实数b的取值范围是$（{\frac{27}{2}，+∞}）$．分析 利用导数的几何意义即可得出．
解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{b}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-bx}{x（x+1）^{2}}$，
∵对任意x1，x2∈[1，2]，x1≠x2，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（1）=\frac{4-b}{4}＜-1}\\{{f}^{′}（2）=\frac{9-2b}{18}＜-1}\end{array}\right.$，解得b＞$\frac{27}{2}$，
故答案为：$（{\frac{27}{2}，+∞}）$．
点评 本题考查了导数的几何意义、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
1．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a
（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
若（x1，y1 ），（x2，y2），…，（xn，yn ）为样本点，$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，则 $\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}{x}_{1}$，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}{y}_{1}$
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{y}）（{y}_{1}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{1}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．
| 年份 | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 | 2010 |
| 需求量（万吨） | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
若（x1，y1 ），（x2，y2），…，（xn，yn ）为样本点，$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，则 $\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}{x}_{1}$，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}{y}_{1}$
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{y}）（{y}_{1}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{1}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．
18．已知$\frac{2}{x}+\frac{8}{y}$=1（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（ ）
| A． | 18 | B． | $12+8\sqrt{2}$ | C． | $12+2\sqrt{2}$ | D． | $12+4\sqrt{2}$ |
如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．