题目内容
已知双曲线
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=1(a＞0，b＞0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
(1，
)
| 2 |
| 3 |
| 3 |
(1，
)
．| 2 |
| 3 |
| 3 |
分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即
＜
，求得a和b的不等式关系，进而根据b=
转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
| b |
| a |
| ||
| 3 |
| c2-a2 |
解答：解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即
＜tan30°=
，∴b＜
a
∵b=
，∴
＜
a，
整理得c＜
a，∴e=
＜
∵双曲线中e＞1，∴e的范围是（1，
）
故答案为：（1，
）．
| b |
| a |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∵b=
| c2-a2 |
| c2-a2 |
| ||
| 3 |
整理得c＜
2
| ||
| 3 |
| c |
| a |
2
| ||
| 3 |
∵双曲线中e＞1，∴e的范围是（1，
2
| ||
| 3 |
故答案为：（1，
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
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