Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E，F分别是AB，PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线EF与CD所成的角；
（Ⅲ）求二面角F-EC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）判断PD、DC、DA两两互相垂直，以D为原点，建立空间直角坐标，用坐标表示点，求出直线EF的方向向量与平面PAD的法向量，从而可证EF∥平面PAD；
（II）求出直线EF的方向向量、直线CD的方向向量，利用向量夹角公式，即可求得直线EF与CD所成的角；
（III）求出平面ECB的法向量、平面ECF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角F-EC-B的余弦值．

解答：（I）证明：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴PD、DC、DA两两互相垂直                           …（1分）
∴以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则                …（2分）
E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）…（3分）
直线EF的方向向量为

EF

=(-1，0，1)，平面PAD的法向量为

DC

=(0，2，0)…（4分）
∵

EF

•

DC

=0
∴EF∥平面PAD…（5分）
（II）解：由（I）知，直线EF的方向向量为

EF

=(-1，0，1)，…（6分）
直线CD的方向向量为

DC

=(0，2，0)，…（7分）
∵cos＜

EF

，

DC

＞=

EF • DC

| EF || DC |

=0…（8分）
∴直线EF与CD所成的角为90°…（9分）
（III）P（0，0，2），B（2，2，0），E（2，1，0），F（1，1，1），C（0，2，0），D（0，0，0）
故

EC

=(-2，，1，0)，

FC

=(-1，1，-1)，则平面ECB的法向量为

DP

=(0，0，2)…（10分）
设平面ECF的法向量为

n

=(x，y，z)，则

EC • n =0 FC • n =0

，

-2x+y=0 -x+y-z=0

，令x=1，则y=2，z=1
故

n

=(1，2，1)…（12分）
∵cos＜

DP

•

n

＞=

DP • n

| DP |•| n |

=

2

2 6

=

6

6

，由图可知，二面角F-EC-B为钝角，
∴二面角F-EC-B的余弦值为-

6

6

．…（14分）

点评：本题考查线面平行，线线角，面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定直线的方向向量与平面的法向量．