Question

16．数列{a_n}是等比数列且a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（ I）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由题意知a₁＞0，且${a_n}=\frac{1}{2}•{q^{n-1}}$，
又∵S₃+a₃，s₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
∴2（S₅+a₅）=S₃+a₃+S₄+a₄，
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=2（a₁+a₂+a₃）+a₃+2a₄，
化简得4a₅=a₃，从而4q²=1，
又q＞0，解得q=$\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2^n}$．
（ II）由（ I）知，$n{a_n}=\frac{n}{2^n}$，
则${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}\end{array}$=$\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．