Question

P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率e=，左焦点F（-1，0）的椭圆上，已知与共线，与共线，且，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.

Answer 1

解：椭圆方程为+y²=1.?

∵,PQ⊥MN.?

设PQ的方程为ky=x+1,代入椭圆方程消去x得?

（2+k²）y²-2ky-1=0.?

设P(x₁,y₁),Q(x₁,y₁)则?

|PQ|=|y₁-y₂|?

??

??

.?

(1)当k≠0时，MN的斜率为-，?

同理可得|MN|=,?

故四边形面积S=|PQ||MN|=.?

令u=k²+,则u≥2, 即S=.?

当k=±1时，u=2,S=.且S是以u为自变量的增函数，?

∴.?

(2)当k=0时,MN为椭圆的长轴，?

|MN|=,|PQ|=，S=|PQ||MN|=2.?

综合（1）（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.