Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率为2，求证为定值．
（3）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）据题意应为双曲线一支，由，能得到曲线方程．
（2）设AB：y=2x+b，将其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理能够证明为定值．
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x，此时A（x，），B（x，-），=2．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程中，得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依题意知，由此能够解得的最小值为2．
法二：，A，B在右支，故x₁，x₂＞0，=．由此能够解得的最小值为2．
解答：解：（1）据题意应为双曲线一支，
，
∴曲线方程为x²-y²=2（x≥）．（2分）
（2）设AB：y=2x+b，
将其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0…（1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂为（1）的两根．，
=，是定值．（8分）
（3）法一：当直线AB的斜率不存在时，
设直线AB的方程为x=x，
此时A（x，），B（x，-），=2
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程中，
得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0
依题意可知方程1？有两个不相等的正数根，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
解得|k|＞1，
又=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=＞2   
  综上可知的最小值为2（14分）
法二：，A，B在右支，
故x₁，x₂＞0，

=
≥
=|y₁y₂|+2+y₁y₂≥2，y₁=-y₂时，“=”成立，
故的最小值为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．