题目内容
13．
如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上．（Ⅰ）求证：AE⊥EB；
（Ⅱ）设$\frac{AF}{BG}$=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
分析 （Ⅰ）由已知可得DA⊥面ABE，进一步得到平面ABCD⊥平面ABE，再由CB⊥AB，点B在面AEC的射影在线段EC上，可得AE⊥面BCE，又BE?面BCE，得到AE⊥EB；
（Ⅱ）以A为原点，垂直于平面ABCD的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD为z轴，如图所示建立空间直角坐标系A-xyz，由已知$\frac{AF}{BG}$=λ=$\frac{AE}{BE}$，假设存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．分别求出平面AEC与平面BAC的一个法向量由|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得a2=b2，再由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=0$，得a2+b（b-2）=0，联立求得b值，可得AE=BE．即当λ=1时，二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
解答 （Ⅰ）证明：由已知，四边形ABCD是边长为2的正方形，
∵DA⊥AF，DA⊥AE，AE∩AF=A，
∴DA⊥面ABE，则平面ABCD⊥平面ABE，
又CB⊥AB，∴CB⊥AE．
又点B在面AEC的射影在线段EC上，设为H，则AE⊥BH，
∴AE⊥面BCE，又BE?面BCE，
∴AE⊥EB；
（Ⅱ）解：以A为原点，垂直于平面ABCD的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD为z轴，
如图所示建立空间直角坐标系A-xyz，
由已知$\frac{AF}{BG}$=λ=$\frac{AE}{BE}$，假设存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设E（a，b，0），则$\overrightarrow{AE}=（a，b，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，2）$．
设平面AEC的一个法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=ax+by=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{b}{a}y}\\{z=-y}\end{array}\right.$，
令y=a，得$\overrightarrow{n}=（-b，a，-a）$是平面EAC的一个法向量．
又平面BAC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$，
由|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|b|}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，化简得a2=b2 ①，
又∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=0$，即a2+b（b-2）=0 ②，
联立①②，解得b=0（舍），b=1．
由$AE=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，BE=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，∴AE=BE．
∴当λ=1时，二面角B-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
点评 本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间直角坐标系求解二面角的平面角，是中档题．
名校课堂系列答案
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证：
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PCD；
（2）求PB和平面PAD所成的角的大小．
| A． | $\frac{1}{2}$，$\frac{π}{6}$ | B． | 1，$\frac{π}{6}$ | C． | 1，$\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$，$\frac{π}{3}$ |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 2 |