Question

若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y²-x²=1的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为（　　）

• A、

  y2

  2

  +x2=1
• B、

  x2

  2

  +y2=1
• C、

  x2

  4

  +y2=1
• D、

  y2

  4

  +x2=1

Answer 1

分析：根据双曲线方程求得其焦点坐标和离心率，进而可得椭圆的焦点坐标和离心率，求得椭圆的长半轴和短半轴的长，进而可得椭圆的方程．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，离心率为e
双曲线y²-x²=1的顶点是（0，1），所以b=1．
∵双曲线y²-x²=1的离心率为

12+12

=

2

∴e=

1

2

，即

c

a

=

a2-b2

a

=

a2-1

a

=

1

2

∴a²=2
∴所求的椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
故选B．

点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．