题目内容
（2012•深圳二模）如图，M，N是抛物线C1：x2=4y上的两动点（M，N异于原点O），且∠OMN的角平分线垂直于y轴，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，B．（1）求实数λ，μ的值，使得
| OB |
| OM |
| ON |
（2）若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C2经过A，M．求椭圆C2焦距的最大值及此时的方程．
分析：（1）由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，确定B，M，N的坐标代入
=λ
+μ
中，即可求得结论；
（2）设椭圆C2的方程为
+
=1（a＞b＞0），将A（2x1，0），M（x1，
）代入，得
=1
+
=1，从而可得a2=4x12，b2=
，进而可表示椭圆C2的焦距，利用基本不等式确定最值，从而可得椭圆C2的方程．
| OB |
| OM |
| ON |
（2）设椭圆C2的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x12 |
| 4 |
| 4x12 |
| a2 |
| 4x12 |
| a2 |
| x14 |
| 16b2 |
| x14 |
| 12 |
解答：解：（1）设M（x1，
），N（x2，
），x1x2≠0，x1≠x2
由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，即
+
=0
化简得x2=-2x1．（3分）
由点M（x1，
），N(-2x1，x12)知，直线MN的方程为y-
=-
(x-x1)．
分别在其中令y=0及x=0得A（2x1，0），B（0，
）．（5分）
将B，M，N的坐标代入
=λ
+μ
中得
，（7分）
所以λ=
，μ=
（8分）
（2）设椭圆C2的方程为
+
=1（a＞b＞0），
将A（2x1，0），M（x1，
）代入，得
=1，
+
=1，（9分）
解得a2=4x12，b2=
，由a2＞b2得0＜x12＜48．（10分）
椭圆C2的焦距2c=
≤8
（12分）
当且仅当x12=48-x12，即x12=24＜48时，上式取等号，故(2c)max=8
，（13分）
此时椭圆C2的方程为
+
=1（14分）
| x12 |
| 4 |
| x22 |
| 4 |
由∠OMN的角平分线垂直于y轴知，直线OM与直线MN的倾斜角互补，从而斜率之和等于0，即
| ||
| x1 |
| ||||
| x2-x1 |
化简得x2=-2x1．（3分）
由点M（x1，
| x12 |
| 4 |
| x12 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
分别在其中令y=0及x=0得A（2x1，0），B（0，
| x12 |
| 2 |
将B，M，N的坐标代入
| OB |
| OM |
| ON |
|
所以λ=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）设椭圆C2的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
将A（2x1，0），M（x1，
| x12 |
| 4 |
| 4x12 |
| a2 |
| x12 |
| a2 |
| x14 |
| 16b2 |
解得a2=4x12，b2=
| x14 |
| 12 |
椭圆C2的焦距2c=
| ||
| 3 |
| x12(48-x12) |
| 3 |
当且仅当x12=48-x12，即x12=24＜48时，上式取等号，故(2c)max=8
| 3 |
此时椭圆C2的方程为
| x2 |
| 96 |
| y2 |
| 48 |
点评：本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
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