Question

（2013•蓟县二模）若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆

x2

2

+y2=1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为（　　）

• A．x²-y²=1
• B．y²-x²=1
• C．

  x2

  4

  -y2=1
• D．

  y2

  4

  -x2=1

Answer 1

分析：求出已知椭圆的短轴顶点坐标，得到双曲线的顶点为（0，±1），从而设其方程为y²-

x2

b2

=1(b＞0)，再由已知条件算出双曲线的离心率e=

2

，建立方程组解出b=1，从而得到所求双曲线的方程．

解答：解：∵椭圆

x2

2

+y2=1的短轴端点坐标为（0，±1），
∴双曲线的顶点为（0，±1），可设方程为y²-

x2

b2

=1(b＞0)
∵双曲线的离心率等于椭圆的离心率的倒数
∴由椭圆

x2

2

+y2=1的离心率为

2

2

，得双曲线的离心率e=

1+b2

1

=

2

解之得b=1，从而双曲线的方程为y²-x²=1
故选：B

点评：本题给出双曲线的顶点是椭圆的短轴端点，在已知离心率的情况下求双曲线的方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．