Question

已知曲线，过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点（且，点列的横坐标构成数列，其中.
（1）求与的关系式；
（2）令，求证：数列是等比数列；
（3）若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）先根据直线的斜率为，利用斜率公式与构建等式，通过化简得到与的关系式；（2）在（1）的基础上，将代入，通过化简运算得出与之间的等量关系，然后根据等比数列的定义证明数列是等比数列；（3）先求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，将进行作差得到，对为正奇数和正偶数进行分类讨论，结合参数分离法求出在相应条件的取值范围，最终再将各范围取交集，从而确定非零整数的值.
试题解析：（1）由题意知，所以；
（2）由（1）知，
，
，故数列是以为公比的等比数列；
（3），，
，，
当为正奇数时，则有，
由于数列对任意正奇数单调递增，故当时，取最小值，所以；
当为正偶数时，则有，
而数列对任意正偶数单调递减，故当时，取最大值，所以，
综上所述，，由于为非零整数，因此