题目内容
11．某厂家拟在暑期举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-$\frac{2}{x}$（其中0≤x≤a，a为正常数）现拟定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+$\frac{20}{t}$）万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
分析 （1）由题意可知该产品的售价为2×（$\frac{10+2t}{t}$）万元，因此y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）t-10-2t-x，化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）利用基本不等式可得因为y=20-（$\frac{4}{x}$+x）≤16，当且仅当$\frac{4}{x}$=x即x=2时，上式取等号．再分a≥2与0＜a＜2两类情况讨论，利用函数的单调性可得促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
解答 解：（1）由题意知，该产品售价为2×（$\frac{10+2t}{t}$）万元，y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）t-10-2t-x，
代入化简得：y=20-$\frac{4}{x}$-x（0≤x≤a）…5分
（2）因为y=20-（$\frac{4}{x}$+x）≤20-2$\sqrt{4}$=16，当且仅当$\frac{4}{x}$=x即x=2时，上式取等号．
所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大…9分
又当0＜a＜2时，函数y=20-（$\frac{4}{x}$+x）在区间[0，a]上单调递增，
所以当x=a时，函数有最大值，即促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．
综上所述，当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当0＜a＜2时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大…12分
点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的应用，考查分析问题、解决问题的能力与运算求解能力，属于难题．
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（1）若x，y之间是线性相关，请根据表中提供的数据，求y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产用水为120吨，试根据（1）中求出的线性回归方程，预测技术改造后生产100吨甲产品的用水量比技术改造前减少了多少吨？
（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{1}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
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（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产用水为120吨，试根据（1）中求出的线性回归方程，预测技术改造后生产100吨甲产品的用水量比技术改造前减少了多少吨？
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根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c的值为6；当x=3时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围．
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| f'（x） | -24 | -10 | 6 | 8 | 0 | -10 | -90 |
（Ⅰ）实数c的值为6；当x=3时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围．