题目内容

如图2-1-3，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

图2-1-3

思路分析：本题是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=PN，即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO12-1=2(PO22-1).设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.

解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0).

设P(x,y)，则PM2=PO12-MO12=(x+2)2+y2-1.同理,PN2=(x-2)2+y2-1.

∵PM=PN，∴(x+2)2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1］，

即x2-12x+y2+3=0，即(x-6)2+y2=33.这就是动点P的轨迹方程.

练习册系列答案
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．
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PB
PA
=
1
2
，
PC
PD
=
1
3
，则
BC
AD
的值为
 
．
C．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为
x=3+2
2
cosθ
y=-1+2
2
sinθ
（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=
2
cosθ-sinθ
，则曲线C上到直线l距离为
2
的点的个数为：
 
．
（考生注意：从下列三题中任选一题，多选的只按照第一题计分）
①对任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a2-4a恒成立，则a满足
[-1，5]
[-1，5]
．
②在极坐标系中，点P（2，-
π
6
）到直线l：ρsin（θ-
π
6
）=1的距离是
3
+1
3
+1
；
③如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于点C，CD⊥AB于点D，则CD=
3
3
．
（1）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为
2
，
3π
4
2
，
3π
4
．
（2）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若
PB
PA
=
1
2
，
PC
PD
=
1
3
，则
BC
AD

的值为
6
6
6
6
．
请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P，若
PB
PA
=
1
2
，
PC
PD
=
1
3
，则
BC
AD
的值为
6
6
6
6
．
（2）．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上
的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为
4
2
-2
4
2
-2
．
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