Question

请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P，若

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，则

BC

AD

的值为

6

6

．
（2）．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上
的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为

4

2

-2

．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是圆O的内接四边形，知∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，故△PBC∽△PDA，设PB=x，PC=y，由

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，得PA=2x，PD=3y，由此能求出

BC

AD

．
（2）曲线ρ²+2ρcosθ-3=0是圆心为（-1，0），半径为r=

1

2

4+12

=2的圆，直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，由此利用点到直线的距离公式能求出|AB|距离的最小值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，
∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，
∴△PBC∽△PDA，
设PB=x，PC=y，
∵

PB

PA

=

1

2

，

PC

PD

=

1

3

，
∴PA=2x，PD=3y，
由△PBC∽△PDA，得

BC

AD

=

PB

PD

=

PC

PA

，
∴

x

3y

=

y

2x

，解得y=

6

3

x，
∴

BC

AD

=

x

3y

=

x

3× 6 3 x

=

6

6

．
故答案为：

6

6

．
（2）∵曲线ρ²+2ρcosθ-3=0的普通方程为x²+y²+2x-3=0，
∴曲线是圆心为（-1，0），半径为r=

1

2

4+12

=2的圆，
∵直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，
∴圆心为（-1，0）到直线的距离d=

|-1+0-7|

2

=4

2

，
∴|AB|距离的最小值为4

2

-2．
故答案为：4

2

-2．

点评：第（1）考查圆的内接四边形的性质及其应用，第（2）题考查圆和直线的极坐标方程的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．