Question

定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x₁、x₂∈D,都有|f(x₁)－f(x₂)|＜1,则称函数y=f(x)为“Storm函数”．已知函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．

（1）若，求过点处的切线方程；

（2）函数是否为“Storm函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由．

Answer 1

（1）（2）当c≤－时，ax²+bx+c≤0的解集为R

解析:

本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值．（1），，切线方程为．

（2）函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的导数是f′(x)=3x²－1,

当3x²－1=0时,即x=±,

当x＜时,f′(x)=3x²－1＜0;当x＞时,f′(x)=3x²－1＞0,

故f(x)在x∈［－1,1］内的极小值是a－．

同理,f(x)在x∈［－1,1］内的极大值是a+．

∵f(1)=f(－1)=a,

∴函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,

因为|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|,

故|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|=＜1．

所以函数f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函数”．