Question

给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则函数①f（x）=3x-1；②f(x)=-

1

2

x2-

1

2

x+1；③f(x)=log2(x2+1)；④f(x)=x

1

2

，其中在D上封闭的是

②③④

．（填序号即可）

Answer 1

分析：根据封闭函数的定义，函数f（x）在定义域D上的值域为D的子集，则函数f（x）就是封闭函数．因此分别求出各个选项中的函数在区间D=（0，1）上的值域，再看这个值域是否为D的子集，即可判断其是否为封闭函数．由此可得本题答案．

解答：解：对于①，当定义域D=（0，1）时，显然f（x）=3x-1∈（-1，2）∉D，
例如当x=

1

3

时，f（x）=0∉D，故①的函数不是封闭函数；
对于②，f(x)=-

1

2

x2-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

7

8

∵二次函数图象开口向下，定义域D=（0，1）在对称轴x=-

1

2

的右侧，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，可得f（x）∈（0，1）=D，即②是封闭函数；
对于③，当定义域D=（0，1）时，
∵x²+1∈（1，2），∴f(x)=log2(x2+1)∈（0，1）=D，即③是封闭函数；
对于④，当定义域D=（0，1）时，显然有f（x）=x

1

2

∈（0，1）=D，即④是封闭函数
综上所述，②③④是封闭函数．
故答案为：②③④

点评：本题给出封闭函数的定义，要我们判断几个函数是不是（0，1）上的封闭函数．着重考查了函数的定义域与值域、函数的单调性等知识，属于中档题．