Question

给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则函数①f₁（x）=3x-1；②f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1；③f₃（x）=1-x；④f₄（x）=x，其中在D上封闭的是

 

．（填序号即可）

Answer 1

分析：由f₁（x）=0∉（0，1）得f₁（x）在D上不封闭．f₂（x）=-x²-x+1在（0，1）上是减函数，0=f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，得f₂（x）适合．而f₃（x）=1-x在（0，1）上是减函，0=f₃（1）＜f₃（x）＜f₃（0）=1，f₃（x）适合．而f₄（x）=x在（0，1）上是增函数，且0=f₄（0）＜f₄（x）＜f₄（1）=1，f₄（x）适合．从而得到结果．

解答：解：∵f₁=0∉（0，1），
∴f₁（x）在D上不封闭．
∵f₂（x）=-x²-x+1在（0，1）上是减函数，
∴0=f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）适合．
∵f₃（x）=1-x在（0，1）上是减函数，
∴0=f₃（1）＜f₃（x）＜f₃（0）=1，
∴f₃（x）适合．
又∵f₄（x）=x在（0，1）上是增函数，
且0=f₄（0）＜f₄（x）＜f₄（1）=1，
∴f₄（x）适合．
故答案为：②③④

点评：本题以新给出的定义为载体考查了函数的单调性，同时考查了学生灵活应用知识解决问题的能力，是个基础题．