题目内容

在数列{a_n}中，a₁= $数学公式$ ，并且对于任意n∈N^，且n＞1时，都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n= $数学公式$ （n∈N^）．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{ $数学公式$ }的前n项和T_n，并证明T_n＜ $数学公式$ - $数学公式$ ．

解：（I）当n=1时，b₁= $\text{[math]}$ =3，
当n≥2时，b_n-b_n-1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n+2．

（II）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]，
∵ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$ ，
∴T_n＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
分析：（I）、当n=1时，先求出b₁=3，当n≥2时，求得b_n+1与b_n的关系即可知道b_n为等差数列，然后便可求出数列{b_n}的通项公式；
（II）根据（I）中求得的b_n的通项公式先求出数列{ $\text{[math]}$ }的表达式，然后求出T_n的表达式，根据不等式的性质即可证明T_n＜ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．