Question

（本小题满分14分）

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.如图，ABCD是梯形，AB//CD，，PA⊥面ABCD，         

且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点
（Ⅰ）求证：AE//面PBC.
（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅲ）在面PAB内能否找一点N，使NE⊥面PAC. 若存在，找出并证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC中点为F，连结EF，BF                         

又E为PD的中点，所以且
所以EF//AB，且EF=AB，所以ABFE为平行四边形                   …2分
所以AE//BF， 因为AE面PBC，所以AE//面PBC                 …4分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则    A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
（0，0，3），E（0，，）…5分
从而=（2，1，0），=（1，0，）
设与的夹角为，则
， …7分
∴AC与PB所成角的余弦值为               …8分
（Ⅲ）法1：由于N点在面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），
则  由NE⊥面PAC可得：    …10分
即
化简得  即N点的坐标为（，0，）  
所以在面PAB内存在点N（，0，），使NE⊥面PAC.      …14分
（Ⅲ）法2：在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G，连PG，
设N为PG的中点，连NE，则NE//DG，                         …10分
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC 从而NE⊥面PAC          …14分

解析