Question

已知：函数f（x）是R上的单调函数，且f（3）=log₂3，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（x）满足对任意实数x，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，求k的范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即证
（2）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函数，则f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2）恒成立，f （ x ）是R上的单调函数可得是增函数，于是可得k＜3x+

2

3x

-1恒成立，利用基本不等式可求3x+

2

3x

-1的最小值可求k的范围

解答：（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x  有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即证f （ x ）是奇函数．
（2）因为 对任意实数x，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函数f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2）恒成立 又R上的单调函数f （ x ）满足f（3）=log₂3＞0
而f （0 ）=0   从而有：f （ x ）是R上的单调增函数
于是：k•3^x＜-3^x+9^x+2
∴k＜3x+

2

3x

-1恒成立，而3x+

2

3x

-1≥2

2

-1
∴k＜2

2

-1

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数函数值，及利用赋值判断函数的奇偶性，函数的恒成立与求函数最值的相互转换，要注意基本不等式在求解函数最值中的应用．