Question

4．在等差数列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁与a₄的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={a_{\frac{n（n+1）}{2}}}$，数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意得：a₂=a₁+d=a₁+2，a₄=a₁+3d=a₁+6，
∵a₂是a₁与a₄的等比中项，
∴$a_2^2={a_1}•{a_4}$${（{a_1}+2）^2}={a_1}（{a_1}+6）$，
解得a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n，即a_n=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n，
∴${b_n}={a_{\frac{n（n+1）}{2}}}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{n}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为T_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．